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歐拉公式,世界上最完美的公式

4928 人參與  2018年05月16日 14:31  分類 : 科學百科  評論

歐拉公式是什么?為什么歐拉公式被稱為世界上最完美的公式?下面我們就一起來了解一下吧。
歐拉公式又稱為歐拉定理,也稱為尤拉公式,是用在復分析領域的公式,歐拉公式將三角函數與復數指數函數相關聯,之所以叫作歐拉公式,那是因為歐拉公式是由萊昂哈德·歐拉提出來的,所以用他的名字進行了命名。
尤拉公式提出,對任意實數 x,都存在

歐拉公式,世界上最完美的公式
其中 e是自然對數的底數, i是虛數單位,而  \cos和  \sin則是余弦、正弦對應的三角函數,參數 x則以弧度為單位。這一復數指數函數有時還寫作 {cis}(x)(英語:cosine plus i sine,余弦加i正弦)。由于該公式在 x為復數時仍然成立,所以也有人將這一更通用的版本稱為尤拉公式。

萊昂哈德·歐拉出生于1707年4月15日,死于公元1783年9月18日,萊昂哈德·歐拉是一位來自于瑞士的數學家和物理學家,是近代著名的數學家之一,此外,萊昂哈德·歐拉還有力學,光學和天文學上都作出了重大的貢獻。

萊昂哈德·歐拉被認為是18世紀,世界上最杰出的數學家,也是史上最偉大的數學家之一,而且萊昂哈德·歐拉還有許多的著作,他的學術著作就多達60-80冊。
他對微分方程理論作出了重要貢獻。他還是歐拉近似法的創始人,這些計算法被用于計算力學中。此中最有名的被稱為歐拉方法。

在數論里他引入了歐拉函數。自然數  n的歐拉函數image被定義為小于n并且與 n互質的自然數的個數。

在計算機領域中廣泛使用的RSA公鑰密碼算法也正是以歐拉函數為基礎的。

在分析領域,是歐拉綜合了戈特弗里德·威廉·萊布尼茨的微分與艾薩克·牛頓的流數。

他在1735年由于解決了長期懸而未決的貝塞爾問題而獲得名聲:

image

其中image是黎曼函數。

歐拉將虛數的冪定義為如下公式

image

這就是歐拉公式,它成為指數函數的中心。在初等分析中,從本質上來說,要么是指數函數的變種,要么是多項式,兩者必居其一。被理查德·費曼稱為“最卓越的數學公式”的則是歐拉公式的一個簡單推論(通常被稱為歐拉恒等式):

image

他在1735年定義了微分方程中的歐拉-馬斯刻若尼常數,也是歐拉-麥克勞林求和公式的發現者之一,這一公式在計算難于計算的積分、求和與級數的時候極為有效:

image

歐拉還發現了公式的 V - e + f = 2 的數量與頂點(Vertex, V),邊(edge, e)和面(face, f)的凸多面體,因此,對一個平面圖形。此公式中的常數是現在被稱為歐拉示性數的圖形(或其他數學對象),是有關屬的對象。研究和推廣這一公式,特別是通過柯西和歐萊雅Huillier,是在原點的拓撲結構。

2013年4月15日Google以doodle紀念歐拉306周年誕辰,展示了歐拉角、歐拉公式、歐拉恒等式、歐拉示性數和七橋問題等。

為什么歐拉公式被稱為世界上最完美的公式了?

歐拉公式的巧妙之處在于,它沒有任何多余的內容,將數學中最基本的e、i、π放在了同一個式子中,同時加入了數學也是哲學中最重要的0和1,再以簡單的加號相連。高斯曾經說:“一個人第一次看到這個公式而不感到它的魅力,他不可能成為數學家。” 雖然不敢肯定她是世界上“最偉大公式",但是可以肯定它是最完美的數學公式之一。

理由如下:

1、自然數的“e”含于其中。 自然對數的底,大到飛船的速度,小至蝸牛的螺線,誰能夠離開它?

2、最重要的常數 π 含于其中。 世界上最完美的平面對稱圖形是圓。“最偉大的公式”能夠離開圓周率嗎? (還有π和e是兩個最重要的無理數!)

3、最重要的運算符號 + 含于其中。 之所以說加號是最重要的符號,是因為其余符號都是由加號派生而來。減號是加法的逆逆運算,乘法是累計的加法……

4、最重要的關系符號 = 含于其中。 從你一開始學算術,最先遇見它,相信你也會同意這句話。

5、最重要的兩個元在里面。零元0 ,單位1 ,是構造群,環,域的基本元素。如果你看了有關《近世代數》的書,你就會體會到它的重要性。

6、最重要的虛單位 i 也在其中。 虛單位 i 使數軸上的問題擴展到了平面,而在哈密爾的 4 元數與 凱萊的 8 元數中也離開不了它。 之所以說她美,是因為這個公式的精簡。她沒有多余的字符,卻聯系著幾乎所有的數學知識。 有了加號,可以得到其余運算符號; 有了0,1,就可以得到其他的數字; 有了 π 就有了圓函數,也就是三角函數; 有了 i 就有了虛數,平面向量與其對應,也就有了哈密爾的 4 元數,現實的空間與其對應; 有了 e 就有了微積分,就有了和工業革命時期相適宜的數學。

歐拉公式,世界上最完美的公式

三角形中的歐拉公式: 設r為三角形外接圓半徑,r為內切圓半徑,d為外心到內心的距離,則: d^2=r^2-2rr

拓撲學里的歐拉公式: v+f-e=x(p),v是多面體p的頂點個數,f是多面體p的面數,e是多面體p的棱的條數,x(p)是多面體p的歐拉示性數。 如果p可以同胚于一個球面(可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個球面上),那么x(p)=2,如果p同胚于一個接有h個環柄的球面,那么x(p)=2-2h。 x(p)叫做p的歐拉示性數,是拓撲不變量,就是無論再怎么經過拓撲變形也不會改變的量,是拓撲學研究的范圍。

在多面體中的運用: 簡單多面體的頂點數v、面數f及棱數e間有關系 v+f-e=2 這個公式叫歐拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數、面數、棱數特有的規律。

歐拉公式,世界上最完美的公式

初等數論里的歐拉公式: 歐拉φ函數:φ(n)是所有小于n的正整數里,和n互素的整數的個數。n是一個正整數。 歐拉證明了下面這個式子: 如果n的標準素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am,其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素數,而且兩兩不等。則有 φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm) 利用容斥原理可以證明它。 此外還有很多著名定理都以歐拉的名字命名。

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本文標簽:數學  

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